MyCodeSchool
Probleme Simple cu Relații Metrice în Triunghiul Dreptunghic
mycodeschool.ro

🔺 Teorema lui Pitagora

50 de exerciții practice cu cateti și înălțimi

📚 Relațiile metrice în triunghiul dreptunghic

1. 🔺 Teorema lui Pitagora

Pătratul ipotenuzei este egal cu suma pătratelor catetelor.

a² + b² = c²

2. 📏 Teorema înălțimii

Pătratul înălțimii corespunzătoare ipotenuzei este egal cu produsul proiecțiilor catetelor pe ipotenuză.

h² = p × q

3. 📐 Teoremele catetelor

Pătratul unei catete este egal cu produsul dintre ipotenuză și proiecția catetei pe ipotenuză.

a² = c × p     b² = c × q

4. 📊 Relații pentru aria și înălțimea

S = (a × b)/2 = (c × h)/2     h = (a × b)/c

Notații:

  • a, b = catetele
  • c = ipotenuza
  • h = înălțimea corespunzătoare ipotenuzei
  • p, q = proiecțiile catetelor pe ipotenuză
  • S = aria triunghiului
1
Ușor
Într-un triunghi dreptunghic, o catetă are lungimea de 3 cm, iar cealaltă catetă are 4 cm. Calculați lungimea ipotenuzei.
Răspuns: c² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25, deci c = 5 cm
2
Ușor
Ipotenuza unui triunghi dreptunghic are 13 cm, iar o catetă are 5 cm. Găsiți lungimea celeilalte catete.
Răspuns: b² = 13² - 5² = 169 - 25 = 144, deci b = 12 cm
3
Ușor
Un triunghi dreptunghic are catetele de 6 cm și 8 cm. Care este lungimea ipotenuzei?
Răspuns: c² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100, deci c = 10 cm
4
Mediu
Într-un triunghi dreptunghic, ipotenuza este de 15 cm, iar o catetă de 9 cm. Calculați cealaltă catetă.
Răspuns: b² = 15² - 9² = 225 - 81 = 144, deci b = 12 cm
5
Ușor
Catetele unui triunghi dreptunghic au 5 cm și 12 cm. Găsiți ipotenuza.
Răspuns: c² = 5² + 12² = 25 + 144 = 169, deci c = 13 cm
6
Mediu
O scară de 10 m este sprijinită de un perete. Baza scării este la 6 m de perete. La ce înălțime atinge scara peretele?
Răspuns: h² = 10² - 6² = 100 - 36 = 64, deci h = 8 m
7
Ușor
Într-un triunghi dreptunghic isoscel, fiecare catetă are 7 cm. Care este lungimea ipotenuzei?
Răspuns: c² = 7² + 7² = 49 + 49 = 98, deci c = 7√2 ≈ 9,9 cm
8
Mediu
Un dreptunghi are lungimea de 12 cm și lățimea de 9 cm. Calculați lungimea diagonalei.
Răspuns: d² = 12² + 9² = 144 + 81 = 225, deci d = 15 cm
9
Mediu
Într-un triunghi dreptunghic, ipotenuza are 25 cm, iar o catetă are 15 cm. Găsiți cealaltă catetă.
Răspuns: b² = 25² - 15² = 625 - 225 = 400, deci b = 20 cm
10
Ușor
Catetele unui triunghi dreptunghic sunt 1 cm și 1 cm. Care este ipotenuza?
Răspuns: c² = 1² + 1² = 1 + 1 = 2, deci c = √2 ≈ 1,41 cm
11
Mediu
Într-un triunghi dreptunghic cu catetele de 9 cm și 12 cm, calculați înălțimea corespunzătoare ipotenuzei.
Răspuns: c = √(9² + 12²) = 15 cm. h = (9 × 12)/15 = 108/15 = 7,2 cm
12
Dificil
Într-un triunghi dreptunghic, înălțimea către ipotenuză este 6 cm, iar o proiecție este 4 cm. Găsiți cealaltă proiecție și catetele.
Răspuns: h² = p × q, deci 36 = 4 × q, q = 9 cm. a = √(10 × 4) = 2√10 cm, b = √(10 × 9) = 3√10 cm, c = 4 + 9 = 13 cm
13
Mediu
Într-un triunghi dreptunghic cu ipotenuza de 25 cm și o catetă de 15 cm, calculați proiecția acestei catete pe ipotenuză.
Răspuns: a² = c × p, deci 15² = 25 × p, 225 = 25p, p = 9 cm
14
Ușor
Într-un triunghi dreptunghic, catetele sunt 9 cm și 12 cm. Găsiți ipotenuza.
Răspuns: c² = 9² + 12² = 81 + 144 = 225, deci c = 15 cm
15
Mediu
Un copac înalt de 15 m este doborât de vânt. Vârful copacului atinge solul la 12 m de bază. La ce înălțime s-a rupt copacul?
Răspuns: h² = 15² - 12² = 225 - 144 = 81, deci h = 9 m
16
Dificil
Într-un triunghi dreptunghic, raportul catetelor este 3:4, iar ipotenuza este 20 cm. Găsiți catetele.
Răspuns: Fie catetele 3x și 4x. Atunci (3x)² + (4x)² = 20², deci 9x² + 16x² = 400, 25x² = 400, x = 4. Catetele sunt 12 cm și 16 cm.
17
Ușor
Ipotenuza este 17 cm, iar o catetă este 8 cm. Care este cealaltă catetă?
Răspuns: b² = 17² - 8² = 289 - 64 = 225, deci b = 15 cm
18
Mediu
Un triunghi dreptunghic are perimetrul de 60 cm și catetele în raportul 5:12. Găsiți toate laturile.
Răspuns: Fie catetele 5x și 12x, ipotenuza 13x. Perimetrul: 5x + 12x + 13x = 30x = 60, deci x = 2. Laturile sunt 10 cm, 24 cm și 26 cm.
19
Ușor
Catetele sunt 7 cm și 24 cm. Calculați ipotenuza.
Răspuns: c² = 7² + 24² = 49 + 576 = 625, deci c = 25 cm
20
Dificil
Într-un triunghi dreptunghic, proiecțiile catetelor pe ipotenuză sunt 9 cm și 16 cm. Calculați catetele și ipotenuza.
Răspuns: c = 9 + 16 = 25 cm. a = √(25 × 9) = 15 cm, b = √(25 × 16) = 20 cm. Verificare: h = √(9 × 16) = 12 cm
21
Mediu
Catetele unui triunghi dreptunghic sunt 20 cm și 21 cm. Găsiți înălțimea corespunzătoare ipotenuzei și proiecțiile catetelor.
Răspuns: c = √(20² + 21²) = 29 cm. h = (20 × 21)/29 = 420/29 ≈ 14,48 cm. p₁ = 20²/29 = 400/29 ≈ 13,79 cm, p₂ = 21²/29 = 441/29 ≈ 15,21 cm
22
Dificil
Într-un triunghi dreptunghic, înălțimea către ipotenuză este 12 cm, iar raportul proiecțiilor este 4:9. Găsiți dimensiunile triunghiului.
Răspuns: Fie p = 4x și q = 9x. h² = pq, deci 144 = 36x², x = 2. p = 8, q = 18, c = 26. a = √(26×8) = 4√13 cm, b = √(26×18) = 6√13 cm
23
Dificil
Într-un triunghi dreptunghic, înălțimea corespunzătoare ipotenuzei este 12 cm, iar segmentele ipotenuzei sunt în raportul 9:16. Găsiți catetele.
Răspuns: Segmentele sunt 9x și 16x. h² = 9x·16x = 144x², deci 144 = 144x², x = 1. Segmentele sunt 9 și 16. Catetele: √(9·25) = 15 și √(16·25) = 20.
24
Ușor
Ipotenuza este 26 cm, o catetă este 10 cm. Găsiți cealaltă catetă.
Răspuns: b² = 26² - 10² = 676 - 100 = 576, deci b = 24 cm
25
Mediu
Un teren dreptunghiular are lungimea de 80 m și lățimea de 60 m. Ce lungime are diagonala terenului?
Răspuns: d² = 80² + 60² = 6400 + 3600 = 10000, deci d = 100 m
26
Ușor
Catetele unui triunghi dreptunghic sunt 15 cm și 20 cm. Care este ipotenuza?
Răspuns: c² = 15² + 20² = 225 + 400 = 625, deci c = 25 cm
27
Mediu
O navă se află la 12 km est și 9 km nord față de port. La ce distanță în linie dreaptă este nava de port?
Răspuns: d² = 12² + 9² = 144 + 81 = 225, deci d = 15 km
28
Dificil
Într-un triunghi dreptunghic, suma pătratelor catetelor este 169 cm², iar diferența lor este 7 cm. Găsiți catetele.
Răspuns: a² + b² = 169 și a - b = 7. Din a = b + 7: (b+7)² + b² = 169. Rezolvând: b² + 7b - 60 = 0, b = 5, a = 12.
29
Ușor
Într-un triunghi dreptunghic, o catetă este 21 cm, ipotenuza 29 cm. Găsiți cealaltă catetă.
Răspuns: b² = 29² - 21² = 841 - 441 = 400, deci b = 20 cm
30
Dificil
Într-un triunghi dreptunghic cu aria de 60 cm², o catetă este de 10 cm. Calculați înălțimea corespunzătoare ipotenuzei și proiecțiile catetelor.
Răspuns: Din S = ab/2: 60 = 10b/2, b = 12 cm. c = √(10² + 12²) = √244 = 2√61 cm. h = (10×12)/(2√61) = 60√61/61 cm. p₁ = 100/(2√61), p₂ = 144/(2√61)
31
Mediu
Într-un triunghi dreptunghic, ipotenuza este 15 cm, iar înălțimea corespunzătoare ei este 7,2 cm. Găsiți catetele.
Răspuns: Din S = ch/2 și S = ab/2: ab = ch = 15 × 7,2 = 108. Cu a² + b² = 225 și ab = 108, rezolvând: a = 9 cm, b = 12 cm
32
Dificil
Proiecțiile catetelor pe ipotenuză sunt în raportul 1:4, iar suma lor este 25 cm. Calculați toate elementele triunghiului dreptunghic.
Răspuns: p = 5 cm, q = 20 cm, c = 25 cm. h = √(5×20) = 10 cm. a = √(25×5) = 5√5 cm, b = √(25×20) = 10√5 cm
33
Dificil
Într-un romb cu latura de 13 cm și o diagonală de 24 cm, găsiți cealaltă diagonală.
Răspuns: În romb, diagonalele se împart în părți egale și sunt perpendiculare. (12)² + (d/2)² = 13², deci 144 + d²/4 = 169, d²/4 = 25, d = 10 cm.
34
Ușor
Ipotenuza este 37 cm, o catetă este 12 cm. Care este cealaltă catetă?
Răspuns: b² = 37² - 12² = 1369 - 144 = 1225, deci b = 35 cm
35
Mediu
Un avion zboară la 8 km înălțime. Un observator vede avionul sub un unghi de depresie, când avionul este la 15 km distanță orizontală. Care este distanța directă până la avion?
Răspuns: d² = 15² + 8² = 225 + 64 = 289, deci d = 17 km
36
Ușor
Într-un triunghi dreptunghic, catetele sunt 1,6 cm și 1,2 cm. Găsiți ipotenuza.
Răspuns: c² = 1,6² + 1,2² = 2,56 + 1,44 = 4, deci c = 2 cm
37
Mediu
O piscină dreptunghiulară are 25 m lungime și 15 m lățime. Care este diagonala piscinei?
Răspuns: d² = 25² + 15² = 625 + 225 = 850, deci d = √850 ≈ 29,15 m
38
Dificil
Într-un paralelogram cu laturile de 10 cm și 24 cm, o diagonală are 26 cm. Găsiți cealaltă diagonală.
Răspuns: În paralelogram: d₁² + d₂² = 2(a² + b²). 26² + d₂² = 2(10² + 24²) = 2(100 + 576) = 1352. d₂² = 1352 - 676 = 676, deci d₂ = 26 cm.
39
Ușor
Catetele sunt 0,6 m și 0,8 m. Care este ipotenuza în metri?
Răspuns: c² = 0,6² + 0,8² = 0,36 + 0,64 = 1, deci c = 1 m
40
Dificil
Într-un triunghi dreptunghic, una din catete este media geometrică între ipotenuză și proiecția ei. Dacă ipotenuza este 20 cm, găsiți catetele.
Răspuns: a² = c×p, deci a = √(20p). Din teorema catetei: a² = 20p. Știind că a² + b² = 400 și considerând relațiile, a = 4√5 cm, b = 8√5 cm
41
Mediu
Într-un triunghi dreptunghic cu catetele de 8 cm și 15 cm, calculați toate elementele: ipotenuza, înălțimea și proiecțiile.
Răspuns: c = 17 cm, h = (8×15)/17 = 120/17 ≈ 7,06 cm, p₁ = 64/17 ≈ 3,76 cm, p₂ = 225/17 ≈ 13,24 cm
42
Dificil
Diferența proiecțiilor catetelor pe ipotenuză este 7 cm, iar înălțimea corespunzătoare ipotenuzei este 12 cm. Găsiți elementele triunghiului.
Răspuns: Fie p și q cu q-p = 7. h² = pq = 144. Rezolvând sistemul: p = 9, q = 16, c = 25 cm, a = 15 cm, b = 20 cm
43
Mediu
O cutie are forma unui cub cu latura de 6 cm. Care este diagonala spațială a cutiei?
Răspuns: d² = 6² + 6² + 6² = 36 + 36 + 36 = 108, deci d = 6√3 ≈ 10,39 cm
44
Ușor
Catetele unui triunghi dreptunghic sunt 11 cm și 60 cm. Care este ipotenuza?
Răspuns: c² = 11² + 60² = 121 + 3600 = 3721, deci c = 61 cm
45
Mediu
Un balcon circular are raza de 3 m. O scară de 5 m este sprijinită de marginea balconului. La ce distanță de centrul balconului atinge scara solul?
Răspuns: d² = 5² - 3² = 25 - 9 = 16, deci d = 4 m de centru. Distanța de margine = 4 - 3 = 1 m.
46
Dificil
Într-un triunghi dreptunghic, mediana către ipotenuza este 13 cm, iar una din catete este 24 cm. Găsiți cealaltă catetă și ipotenuza.
Răspuns: Mediana către ipotenuza = ipotenuza/2, deci ipotenuza = 26 cm. b² = 26² - 24² = 676 - 576 = 100, deci b = 10 cm.
47
Ușor
Într-un triunghi dreptunghic, catetele sunt 28 cm și 45 cm. Calculați ipotenuza.
Răspuns: c² = 28² + 45² = 784 + 2025 = 2809, deci c = 53 cm
48
Mediu
Un triunghi dreptunghic are ipotenuza de 50 cm și o catetă de 30 cm. Care este aria triunghiului?
Răspuns: b² = 50² - 30² = 2500 - 900 = 1600, deci b = 40 cm. Aria = (30 × 40)/2 = 600 cm²
49
Dificil
O piramidă pătrată regulată are muchia bazei de 6 cm și înălțimea de 4 cm. Care este muchia laterală (apotema)?
Răspuns: Distanța de la centru la mijlocul laturii = 3 cm. Muchia laterală² = 4² + 3² = 16 + 9 = 25, deci muchia = 5 cm.
50
Mediu
Un stâlp de 20 m are umbra de 15 m. Un copac din apropiere are umbra de 12 m. Care este înălțimea copacului? (Bonus: Care este distanța de la vârful stâlpului la capătul umbrei sale?)
Răspuns: Prin proporții: h/12 = 20/15, deci h = 16 m. Distanța = √(20² + 15²) = √625 = 25 m.

🎯 Ai terminat toate exercițiile? Felicitări! Acum stăpânești teorema lui Pitagora!