Tipul 1: Determinarea funcției din primitiva dată (ca Ex. 9)
1. Se consideră funcția $F:[0,+\infty) \to \mathbb{R}$, $F(x) = \frac{4}{x+2} + \ln\frac{1}{x+5}$
a) Să se determine funcția $f:[0,+\infty) \to \mathbb{R}$ știind că $F$ este o primitivă a funcției $f$.
b) Să se demonstreze că $F$ este descrescătoare pe $[1,+\infty)$.
2. Se consideră funcția $F:(0,+\infty) \to \mathbb{R}$, $F(x) = \frac{-3}{2x+1} + \ln(x+2)$
a) Să se determine funcția $f$ știind că $F$ este primitivă a funcției $f$.
b) Să se demonstreze că $F$ este crescătoare pe $[2,+\infty)$.
3. Se consideră funcția $F:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $F(x) = x^3 - 2x^2 + 5x - 7$
a) Să se determine funcția $f$ pentru care $F$ este primitivă.
b) Să se găsească intervalele de monotonie ale funcției $F$.
4. Se consideră funcția $F:[1,+\infty) \to \mathbb{R}$, $F(x) = 2\ln x - \frac{3}{x} + x^2$
a) Să se determine funcția $f$ știind că $F'(x) = f(x)$.
b) Să se verifice că $F$ este convexă pe $[2,+\infty)$.
5. Se consideră funcția $F:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $F(x) = e^{2x} - 3e^{-x} + x$
a) Să se determine funcția $f$ pentru care $F$ este primitivă.
b) Să se demonstreze că $F$ este strict crescătoare pe $\mathbb{R}$.
6. Se consideră funcția $F:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $F(x) = \sin x - 2\cos x + \frac{x^2}{2}$
a) Să se calculeze $f = F'$.
b) Să se găsească punctele de extrem local ale funcției $F$.
7. Se consideră funcția $F:(0,+\infty) \to \mathbb{R}$, $F(x) = \frac{5}{3x+2} - \ln\frac{1}{2x+1}$
a) Să se determine funcția $f$ pentru care $F' = f$.
b) Să se studieze monotonia funcției $F$ pe $[1,+\infty)$.
8. Se consideră funcția $F:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $F(x) = \frac{x^4}{4} - x^3 + 3x^2 - x + 1$
a) Să se determine funcția $f$ cu proprietatea $F' = f$.
b) Să se găsească intervalele pe care $F$ este convexă.
9. Se consideră funcția $F:(0,+\infty) \to \mathbb{R}$, $F(x) = 3\sqrt{x} + \frac{2}{x^2} - 5\ln x$
a) Să se determine derivata $f = F'$.
b) Să se găsească punctele critice ale funcției $F$.
10. Se consideră funcția $F:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $F(x) = 3\sin x + 4\cos x - x^2$
a) Să se calculeze funcția $f = F'$.
b) Să se demonstreze că $F$ este concavă pe $\mathbb{R}$.
11. Se consideră funcția $F:[0,+\infty) \to \mathbb{R}$, $F(x) = \frac{7}{4x+3} + 2\ln(x+1)$
a) Să se determine funcția $f$ pentru care $F$ este primitivă.
b) Să se studieze semnul funcției $f$ pe $[0,+\infty)$.
12. Se consideră funcția $F:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $F(x) = 2^x + 3^{-x} + x^3$
a) Să se determine $f = F'$.
b) Să se arate că $F$ este strict crescătoare pe $[0,+\infty)$.
13. Se consideră funcția $F:(0,\pi) \to \mathbb{R}$, $F(x) = -\cot x + 2x$
a) Să se calculeze derivata $f = F'$.
b) Să se demonstreze că $F$ este strict crescătoare.
14. Se consideră funcția $F:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $F(x) = \frac{x^5}{5} - \frac{x^4}{2} + x^3 - x$
a) Să se determine funcția $f$ cu $F' = f$.
b) Să se găsească punctele de inflexiune ale lui $F$.
15. Se consideră funcția $F:(0,+\infty) \to \mathbb{R}$, $F(x) = x^2\ln x - \frac{x^2}{2}$
a) Să se calculeze $f = F'$.
b) Să se găsească minimul funcției $F$.
Tipul 2: Funcții definite pe ramuri (ca Ex. 10)
16. Se consideră funcția $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = \begin{cases} 2x+3, & x \leq 1 \\ \frac{1}{x}, & x > 1 \end{cases}$
a) Să se arate că funcția $f$ admite primitive.
b) Să se demonstreze că orice primitivă a funcției $f$ este concavă pe $(1,+\infty)$.
17. Se consideră funcția $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = \begin{cases} x^2-2x, & x < 2 \\ \ln(x-1), & x \geq 2 \end{cases}$
a) Să se verifice că $f$ admite primitive.
b) Să se găsească primitiva care se anulează în $x = 2$.
18. Se consideră funcția $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = \begin{cases} e^x, & x \leq 0 \\ 1+2x, & x > 0 \end{cases}$
a) Să se arate că $f$ admite primitive.
b) Să se determine toate primitivele funcției $f$.
19. Se consideră funcția $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = \begin{cases} \sin x, & x \leq \pi \\ 2, & x > \pi \end{cases}$
a) Să se verifice continuitatea funcției $f$.
b) Să se găsească primitiva cu $F(\pi) = 1$.
20. Se consideră funcția $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = \begin{cases} 3x^2-1, & x \leq 0 \\ e^{-x}, & x > 0 \end{cases}$
a) Să se arate că $f$ admite primitive.
b) Să se studieze convexitatea unei primitive pe $(0,+\infty)$.
21. Se consideră funcția $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = \begin{cases} \cos x, & x < 0 \\ 1-x^2, & x \geq 0 \end{cases}$
a) Să se verifice continuitatea în $x = 0$.
b) Să se determine primitiva cu $F(0) = 2$.
22. Se consideră funcția $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = \begin{cases} x^3+x, & x \leq 1 \\ \frac{2}{x}, & x > 1 \end{cases}$
a) Să se arate că $f$ admite primitive.
b) Să se găsească primitiva continuă pe $\mathbb{R}$.
Tipul 3: Primitive cu condiții inițiale (ca Ex. 11)
23. Să se determine primitiva $F$ a funcției $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = 2x^3 - 6x + 1$, care verifică condiția $F(1) = 5$.
24. Să se determine primitiva $F$ a funcției $f:(0,+\infty) \to \mathbb{R}$, $f(x) = \frac{2}{x} - x$, cu condiția $F(e) = 0$.
25. Să se determine primitiva $F$ a funcției $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = \frac{1}{x^2+9}$, care verifică $F(3) = \frac{\pi}{9}$.
26. Să se determine primitiva $F$ a funcției $f:(0,+\infty) \to \mathbb{R}$, $f(x) = \frac{3}{\sqrt{x}}$, cu condiția $F(4) = 12$.
27. Să se determine primitiva $F$ a funcției $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = e^x - \frac{1}{x^2}$, pentru care $F(1) = e + 1$.
28. Să se determine primitiva $F$ a funcției $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = 2\sin x + 3\cos x$, cu $F(0) = -3$.
29. Să se determine primitiva $F$ a funcției $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = x^4 - 4x^3 + 2$, care verifică $F(2) = 0$.
30. Să se determine primitiva $F$ a funcției $f:(0,+\infty) \to \mathbb{R}$, $f(x) = \frac{1}{2x+3}$, cu condiția $F(1) = 0$.
31. Să se determine primitiva $F$ a funcției $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = 5^x$, pentru care $F(0) = \frac{1}{\ln 5}$.
32. Să se determine primitiva $F$ a funcției $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = \frac{1}{x^2+4}$, cu $F(2) = \frac{\pi}{8}$.
33. Să se determine primitiva $F$ a funcției $f:(0,+\infty) \to \mathbb{R}$, $f(x) = x - \frac{1}{x}$, pentru care $F(e) = \frac{e^2}{2}$.
34. Să se determine primitiva $F$ a funcției $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = \frac{1}{\cos^2 x}$, cu $F(0) = 0$.
35. Să se determine primitiva $F$ a funcției $f:(0,+\infty) \to \mathbb{R}$, $f(x) = \frac{1}{x^3}$, pentru care $F(1) = -\frac{1}{2}$.
36. Să se determine primitiva $F$ a funcției $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = 3x^2 - 2e^x$, cu $F(0) = 2$.
37. Să se determine primitiva $F$ a funcției $f:(1,+\infty) \to \mathbb{R}$, $f(x) = \frac{1}{x-1}$, pentru care $F(2) = 0$.
38. Să se determine primitiva $F$ a funcției $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = \frac{1}{\sin^2 x}$, cu $F(\frac{\pi}{2}) = 0$.
39. Să se determine primitiva $F$ a funcției $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = 2x^5 - 3x^2 + 1$, pentru care $F(1) = 1$.
40. Să se determine primitiva $F$ a funcției $f:(0,+\infty) \to \mathbb{R}$, $f(x) = \sqrt[3]{x}$, cu $F(8) = 12$.
Probleme suplimentare combinate
41. Se consideră funcția $F:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $F(x) = \frac{x^6}{6} - x^4 + 2x^2 - 3$
a) Să se determine $f = F'$.
b) Să se găsească punctele de extrem local ale funcției $F$.
c) Să se verifice că $F(0) = -3$.
42. Se consideră funcția $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = \begin{cases} x^2+1, & x \leq 0 \\ e^x, & x > 0 \end{cases}$
a) Să se arate că $f$ admite primitive.
b) Să se determine primitiva cu $F(0) = 1$.
c) Să se calculeze $F(1) - F(-1)$.
43. Să se determine primitiva $F$ a funcției $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = 6x^2 - 4x + 5$, pentru care:
a) $F(0) = 1$
b) $F(1) = 7$
c) Să se verifice că $F(2) - F(0) = 20$.
44. Se consideră funcția $F:(0,+\infty) \to \mathbb{R}$, $F(x) = 3\ln x + \frac{2}{x} - x^2$
a) Să se calculeze $f = F'$.
b) Să se găsească punctul de maxim local al funcției $F$.
c) Să se demonstreze că $F$ este concavă pe $(1,+\infty)$.
45. Se consideră funcția $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = \begin{cases} 2\cos x, & x < \frac{\pi}{2} \\ 3-x, & x \geq \frac{\pi}{2} \end{cases}$
a) Să se verifice continuitatea în $x = \frac{\pi}{2}$.
b) Să se determine primitiva continuă.
c) Să se găsească primitiva cu $F(0) = 0$.
46. Să se determine primitivele următoarelor funcții:
a) $f(x) = x^3 - 3x^2 + 3x - 1$ cu $F(0) = 0$
b) $f(x) = \frac{1}{x} + e^x$ cu $F(1) = e$
c) $f(x) = \sin x - \cos x$ cu $F(\pi) = 2$
47. Se consideră funcția $F:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $F(x) = e^{3x} - 2e^{-2x} + 5x$
a) Să se determine $f = F'$.
b) Să se arate că $f(x) > 0$ pentru orice $x \in \mathbb{R}$.
c) Să se demonstreze că $F$ este strict crescătoare.
48. Se consideră funcția $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = \begin{cases} 3x^2, & x \leq 1 \\ 3, & x > 1 \end{cases}$
a) Să se verifice că $f$ admite primitive.
b) Să se determine primitiva continuă pe $\mathbb{R}$.
c) Să se calculeze $F(2) - F(0)$ pentru primitiva continuă.
49. Să se determine primitivele cu condiții date:
a) $f(x) = \frac{1}{x^2+1}$ cu $F(1) = \frac{\pi}{4}$
b) $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$ cu $F(9) = 6$
c) $f(x) = 2^x$ cu $F(0) = \frac{1}{\ln 2}$
50. Se consideră funcția $F:[0,2\pi] \to \mathbb{R}$, $F(x) = 2\sin x - 3\cos x + x$
a) Să se calculeze $f = F'$.
b) Să se găsească punctele de extrem ale funcției $F$.
c) Să se calculeze $F(2\pi) - F(0)$.
