Unghiul dintre o dreaptă și un plan – Pregătire EN

§ 01 — Fundamente

Ce este unghiul dintre o dreaptă și un plan?

📖 Definiție

Fie dreapta d și planul α, cu d neconținută în α. Proiecția ortogonală a dreptei pe plan este dreapta d' obținută proiectând fiecare punct al lui d perpendicular pe plan.

Unghiul dintre d și α este unghiul ascuțit (sau drept) dintre d și d', adică unghiul format de dreaptă cu propria ei proiecție pe plan.

Unghiul φ = ∠(d, α) se măsoară între dreapta d și proiecția ei ortogonală d' pe planul α

💡 Cazuri speciale

d ⊥ α → unghiul este 90° (dreapta e perpendiculară pe plan)

d ∥ α sau d ⊂ α → unghiul este 0° (proiecția coincide cu dreapta sau e paralelă)

În toate celelalte cazuri, unghiul este cuprins între 0° și 90°.

⚠️ Atenție!

Nu confundați unghiul dintre dreaptă și plan cu unghiul diedru (unghi între două plane) sau cu alte unghiuri din figură. Căutăm mereu unghiul dintre dreaptă și proiecția ei pe plan!

§ 02 — Algoritmul

Metoda de lucru — pas cu pas

Indiferent de corpul geometric (cub, paralelipiped, piramidă), urmezi mereu acești pași:

Identifică dreapta d al cărei unghi cu planul îl cauți. Notează-i capetele (ex: VA).

Identifică planul α (de obicei baza corpului sau una din fețe).

Coboară perpendiculara din punctul care NU se află în plan pe acel plan. Piciorul perpendicularei = punctul H. De obicei H este un punct special: centrul, mijlocul unei laturi, un vârf etc.

Proiecția dreptei d pe plan este dreapta care unește piciorul din plan al dreptei cu H. Adică dreapta AH dacă A e în plan și H e proiecția celuilalt capăt.

Identifică triunghiul dreptunghic format de: dreapta d, perpendiculara coborâtă, și proiecția. Unghiul la A (sau la piciorul din plan) este unghiul căutat.

Calculează cu trigonometrie: tan φ = cateta_opusă / cateta_alăturată. Apoi φ = arctan(...).

Triunghiul dreptunghic cheie: V = vârf (punct în afara planului), H = proiecția lui V pe plan, A = celălalt capăt al dreptei (în plan)

§ 03 — Referință rapidă

Formule rapide pentru corpuri uzuale

Corp	Dreapta d	Planul α	tan φ =
Cub (latura a)	Diagonala feței VA (V=vârf sus, A=vârf bază)	Baza	a / (a√2) = 1/√2 → φ≈35.26°
Cub (latura a)	Diagonala mare (spațială)	Baza	a / (a√2) = 1/√2 → φ≈35.26°
Paralelipiped dreptunghic	Muchia laterală	Baza	∞ → φ = 90°
Piramidă patrată reg.	Muchia laterală VA	Baza	h / (a√2/2) unde h=înălțimea
Piramidă patrată reg.	Apotema feței (VM)	Baza	h / (a/2)
Tetraedru regular (latura a)	Muchia VA	Baza	a√(2/3) / (a/√3) = √2 → φ≈54.74°

🔑 Trigonometrie esențială

sin φ = cateta opusă / ipotenuză | cos φ = cateta alăturată / ipotenuză | tan φ = cateta opusă / cateta alăturată

Valori uzuale: tan 30° = 1/√3, tan 45° = 1, tan 60° = √3

§ 04 — Exersează

Probleme pregătitoare

0 / 14 probleme deschise

P1 Cubul — dreapta diagonală față

Se consideră cubul ABCD–A'B'C'D' cu latura a = 4 cm.

Vârfuri: A, B, C, D — baza inferioară
A', B', C', D' — baza superioară
A'B' ∥ AB, AA' ⊥ planul ABCD, AA' = 4 cm

🔎 Calculați unghiul pe care îl face dreapta A'C cu planul bazei ABCD.

✅ Soluție detaliată

Pas 1 – Identificăm: dreapta este A'C, planul este ABCD. Capătul A' nu e în plan, C este în plan.

Pas 2 – Proiecția lui A' pe planul ABCD: deoarece AA' ⊥ planul bazei, proiecția lui A' pe ABCD este chiar A.

Pas 3 – Proiecția dreptei A'C pe plan: dreapta care unește A (proiecția lui A') cu C este diagonala AC a feței bazei.

Pas 4 – Triunghiul dreptunghic A'AC:
• AA' = 4 cm (muchia laterală, perpendiculară pe bază)
• AC = a√2 = 4√2 cm (diagonala pătratului bazei)
• Unghiul căutat φ = ∠A'CA (la vârful C)

Pas 5 – Calculăm:
tan φ = AA' / AC = 4 / (4√2) = 1/√2 = √2/2
deci φ = arctan(√2/2) ≈ 35°16'

🎯 Răspuns: φ = arctan(√2/2) ≈ 35°16'

P2 Cubul — diagonala mare (spațială)

Se consideră cubul ABCD–A'B'C'D' cu latura a = 3 cm.

🔎 Calculați unghiul pe care îl face diagonala spațială A'C cu planul A'B'C'D' (baza superioară).

✅ Soluție detaliată

Pas 1: Dreapta este A'C. Planul este A'B'C'D' (baza superioară). Capătul A' este în plan, C nu este în plan.

Pas 2 – Proiecția lui C pe planul A'B'C'D': Coborâm perpendiculara din C pe planul superior. Deoarece CC' ⊥ plan, proiecția lui C este C'.

Pas 3 – Proiecția dreptei A'C: Este dreapta A'C' (diagonala feței superioare).

Pas 4 – Triunghiul A'C'C:
• CC' = a = 3 cm (muchia laterală)
• A'C' = a√2 = 3√2 cm (diagonala feței superioare)
• Unghi φ la A'

Pas 5:
tan φ = CC' / A'C' = 3 / (3√2) = 1/√2
φ = arctan(1/√2) ≈ 35°16'

🎯 Răspuns: φ = arctan(√2/2) ≈ 35°16'

P3 Paralelipipedul dreptunghic — diagonala

Se consideră paralelipipedul dreptunghic ABCD–A'B'C'D' cu AB = 6 cm, BC = 4 cm, AA' = 3 cm.

🔎 Calculați unghiul pe care îl face diagonala A'C cu planul bazei ABCD.

✅ Soluție detaliată

Pas 1: Dreapta A'C, planul ABCD. C este în plan. A' nu este. Proiecția lui A' pe bază este A.

Pas 2 – Proiecția dreptei A'C pe plan: dreapta AC (diagonala bazei dreptunghice).

Pas 3 – Calculăm AC:
AC = √(AB² + BC²) = √(36 + 16) = √52 = 2√13 cm

Pas 4 – Triunghiul A'AC:
• AA' = 3 cm ⊥ planul bazei
• AC = 2√13 cm
tan φ = AA' / AC = 3 / (2√13)

Pas 5 – Simplificăm:
tan φ = 3 / (2√13) = 3√13 / 26
φ = arctan(3/(2√13)) ≈ 22°37'

🎯 Răspuns: φ = arctan(3/(2√13)) ≈ 22°37'

P4 Piramida patrată regulată — muchia laterală

Se consideră piramida regulată V–ABCD cu baza pătrat cu latura a = 6 cm și înălțimea VG = 4 cm (G = centrul bazei).

🔎 Calculați unghiul pe care îl face muchia laterală VA cu planul bazei ABCD.

✅ Soluție detaliată

Pas 1: Dreapta VA, planul ABCD. A este în plan. V nu. Proiecția lui V pe bază este G (centrul bazei), deoarece VG ⊥ baza.

Pas 2 – Proiecția dreptei VA pe plan: dreapta GA (de la centru la un vârf al bazei).

Pas 3 – Calculăm GA:
G este centrul pătratului cu latura a = 6.
Diagonala pătratului = a√2 = 6√2
GA = diagonala/2 = 6√2/2 = 3√2 cm

Pas 4 – Triunghiul VAG:
• VG = 4 cm (înălțimea, ⊥ pe bază)
• GA = 3√2 cm
• Unghi φ la vârful A
tan φ = VG / GA = 4 / (3√2) = 4/(3√2) = 2√2/3

φ = arctan(2√2/3) ≈ 43°19'

🎯 Răspuns: φ = arctan(2√2/3) ≈ 43°19'

P5 Piramida triunghiulară regulată (tetraedru)

Se consideră tetraedrul regulat VABC cu toate muchiile egale cu a = 6 cm. G este centrul triunghiului echilateral ABC.

🔎 Calculați unghiul pe care îl face muchia VA cu planul ABC.

✅ Soluție detaliată

Pas 1 – Înălțimea tetraedrului VG:
Raza cercului circumscris bazei (triunghi echilateral cu latura a):
R = a/√3 = 6/√3 = 2√3 cm
GA = R = 2√3 cm

Pas 2 – Calculăm VG:
VA = a = 6, GA = 2√3
VG = √(VA² - GA²) = √(36 - 12) = √24 = 2√6 cm

Pas 3 – Proiecția lui V pe plan: G (centrul bazei, VG ⊥ ABC).

Pas 4 – Triunghiul VAG:
• VG = 2√6 cm
• GA = 2√3 cm
tan φ = VG / GA = 2√6 / (2√3) = √(6/3) = √2
φ = arctan(√2) ≈ 54°44'

🎯 Răspuns: φ = arctan(√2) ≈ 54°44'

P6 Problemă inversă — găsim latura

Se consideră cubul ABCD–A'B'C'D' cu latura a. Diagonala spațială AC' face cu planul bazei un unghi de 30°.

🔎 Determinați valoarea raportului h/a dacă înălțimea cubului este h (sau verificați că această condiție e imposibilă pentru un cub perfect).

✅ Soluție + Concluzie

Pas 1 – Setup: Dreapta AC', planul ABCD. Proiecția lui C' pe bază este C. Proiecția dreptei AC' pe bază este AC.

Pas 2:
• CC' = a (muchia laterală = latura cubului)
• AC = a√2 (diagonala bazei)
tan φ = CC' / AC = a / (a√2) = 1/√2

Pas 3 – Verificăm:
tan φ = 1/√2 ≈ 0.707
φ = arctan(1/√2) ≈ 35°16'
Nu este 30°! Deci pentru un cub perfect, diagonala spațială face ≈35°16', nu 30°.

Concluzie generală: Dacă am vrea φ = 30°, ar trebui:
tan 30° = h / (a√2)
1/√3 = h/(a√2)
h = a√2/√3 = a√(2/3)
Deci h ≠ a → nu mai e cub, ci paralelipiped dreptunghic.

🎯 Pentru cub: φ ≈ 35°16' (nu 30°). Dacă φ = 30°, h = a·√(2/3)

P7 Prisma triunghiulară dreaptă — diagonala feței laterale

Se consideră prisma dreaptă ABC–A'B'C' cu baza triunghi echilateral cu latura a = 4 cm și înălțimea prismei h = 6 cm.

AB = BC = CA = 4 cm (baza = triunghi echilateral)
AA' = BB' = CC' = 6 cm (muchii laterale ⊥ baza)

🔎 Calculați unghiul pe care îl face dreapta AB' cu planul bazei ABC.

✅ Soluție detaliată

Pas 1: Dreapta AB', planul ABC. A este în plan, B' nu. Coborâm perpendiculara din B' pe planul bazei: deoarece BB' ⊥ baza, piciorul este B.

Pas 2 – Proiecția dreptei AB' pe plan: dreapta AB (latura bazei, lungime = 4 cm).

Pas 3 – Triunghiul dreptunghic ABB':
• BB' = 6 cm (înălțimea prismei, ⊥ pe bază)
• AB = 4 cm (latura bazei)
• Unghi φ la vârful A

Pas 4:
tan φ = BB' / AB = 6 / 4 = 3/2
φ = arctan(3/2) ≈ 56°19'

🎯 Răspuns: φ = arctan(3/2) ≈ 56°19'

P8 Piramida patrată — apotema feței laterale

Se consideră piramida regulată V–ABCD cu baza pătrat cu latura a = 8 cm și înălțimea VG = 3 cm. M este mijlocul laturii AB.

🔎 Calculați unghiul pe care îl face apotema VM (segmentul de la vârf la mijlocul laturii bazei) cu planul bazei ABCD.

✅ Soluție detaliată

Pas 1: Dreapta VM. M este în planul bazei, V nu. Proiecția lui V pe baza este G (centrul pătratului).

Pas 2 – Proiecția dreptei VM pe plan: dreapta GM (de la centrul G la mijlocul AB).

Pas 3 – Calculăm GM:
G = centrul pătratului. M = mijlocul AB.
Distanța de la centrul unui pătrat cu latura a la mijlocul unei laturi = a/2.
GM = a/2 = 8/2 = 4 cm

Pas 4 – Triunghiul VMG:
• VG = 3 cm
• GM = 4 cm
tan φ = VG / GM = 3 / 4
φ = arctan(3/4) ≈ 36°52'

🎯 Răspuns: φ = arctan(3/4) ≈ 36°52'

P9 Cubul — dreapta ce unește mijloace de muchii

Se consideră cubul ABCD–A'B'C'D' cu latura a = 6 cm. Fie M mijlocul muchiei A'B' și N mijlocul muchiei CD.

M = mijlocul A'B' (pe baza superioară)
N = mijlocul CD (pe baza inferioară)

🔎 Calculați unghiul pe care îl face dreapta MN cu planul bazei ABCD.

✅ Soluție detaliată

Pas 1 – Coordonate: Plasăm cubul cu A=(0,0,0), B=(6,0,0), C=(6,6,0), D=(0,6,0), A'=(0,0,6), B'=(6,0,6).
N = mijloc CD = (3, 6, 0) — în planul bazei
M = mijloc A'B' = (3, 0, 6) — deasupra bazei

Pas 2 – Proiecția lui M pe baza: M=(3,0,6) se proiectează ortogonal în M₀=(3,0,0) — mijlocul lui AB.

Pas 3 – Proiecția dreptei MN pe baza: dreapta M₀N unde M₀=(3,0,0), N=(3,6,0).
M₀N = √((3-3)² + (6-0)²) = 6 cm

Pas 4 – Înălțimea: MM₀ = 6 cm (diferența de cotă)

Pas 5:
tan φ = MM₀ / M₀N = 6 / 6 = 1
φ = 45°

🎯 Răspuns: φ = 45°

P10 Piramidă triunghiulară — unghi cu o față

Se consideră piramida V–ABC unde baza ABC este triunghi dreptunghic cu unghiul drept în A, AB = AC = 6 cm. Vârful V se află deasupra lui A la înălțimea VA' = 4 cm (A' = A, V este direct deasupra lui A).

∠BAC = 90°, AB = AC = 6 cm
VA ⊥ planul ABC, VA = 4 cm

🔎 Calculați unghiul pe care îl face dreapta VB cu planul bazei ABC.

✅ Soluție detaliată

Pas 1: Dreapta VB, planul ABC. B este în plan, V nu. VA ⊥ baza → proiecția lui V pe baza este A.

Pas 2 – Proiecția dreptei VB pe plan: dreapta AB, lungime = 6 cm.

Pas 3 – Triunghiul dreptunghic VAB:
• VA = 4 cm (perpendiculara)
• AB = 6 cm (proiecția)
• Unghi φ la B

Pas 4:
tan φ = VA / AB = 4 / 6 = 2/3
φ = arctan(2/3) ≈ 33°41'

🎯 Răspuns: φ = arctan(2/3) ≈ 33°41'

P11 Conul — generatoarea cu baza

Se consideră un con cu raza bazei R = 5 cm și înălțimea h = 12 cm. O este centrul bazei, V vârful conului.

🔎 Calculați unghiul pe care îl face o generatoare VA (A punct pe cercul bazei) cu planul bazei.

✅ Soluție detaliată

Pas 1: VO ⊥ planul bazei (înălțimea conului), deci proiecția lui V pe baza este O.

Pas 2 – Proiecția generatoarei VA pe plan: dreapta OA (raza bazei), lungime R = 5 cm.

Pas 3 – Triunghiul dreptunghic VOA:
• VO = h = 12 cm
• OA = R = 5 cm
• Unghi φ la A (unghiul dintre generatoare și plan)

Pas 4:
tan φ = VO / OA = 12 / 5
φ = arctan(12/5) ≈ 67°22'
Sau: sin φ = h / generatoare = 12/13 (deoarece generatoarea = √(5²+12²) = 13 cm)

🎯 Răspuns: φ = arctan(12/5) ≈ 67°22'

P12 Problemă inversă — piramidă, aflăm înălțimea

Piramida regulată V–ABCD are baza pătrat cu latura a = 10 cm. Muchia laterală VA face un unghi de 60° cu planul bazei.

🔎 Calculați înălțimea VG a piramidei.

✅ Soluție detaliată

Pas 1 – GA (semidiagonala bazei):
G = centrul pătratului. Diagonala = a√2 = 10√2
GA = 10√2 / 2 = 5√2 cm

Pas 2 – Relația cu unghiul:
Triunghiul dreptunghic VGA:
tan φ = VG / GA
tan 60° = VG / (5√2)
√3 = VG / (5√2)

Pas 3:
VG = 5√2 · √3 = 5√6 cm

🎯 Răspuns: VG = 5√6 ≈ 12.25 cm

P13 Paralelipipedul — dreapta ce unește vârfuri neopuse

Se consideră paralelipipedul dreptunghic ABCD–A'B'C'D' cu AB = 3 cm, BC = 4 cm, AA' = 12 cm.

🔎 Calculați unghiul pe care îl face dreapta B'D cu planul bazei ABCD.

✅ Soluție detaliată

Pas 1: Dreapta B'D. D este în planul bazei. B' nu. Proiecția lui B' pe baza este B (deoarece BB' ⊥ baza).

Pas 2 – Proiecția dreptei B'D pe plan: dreapta BD (diagonala dreptunghiului bazei).

Pas 3 – Calculăm BD:
BD = √(AB² + AD²) = √(AB² + BC²) = √(9 + 16) = √25 = 5 cm
(AD = BC = 4 cm în paralelipipedul dreptunghic)

Pas 4 – Triunghiul dreptunghic B'BD:
• BB' = 12 cm
• BD = 5 cm
tan φ = BB' / BD = 12 / 5
φ = arctan(12/5) ≈ 67°22'

🎯 Răspuns: φ = arctan(12/5) ≈ 67°22'

P14 Problemă tip EN — piramidă cu date mixte

Se consideră piramida regulată V–ABCD cu baza pătrat. Se știe că muchia laterală este l = 10 cm și muchia bazei este a = 8 cm.

VA = VB = VC = VD = 10 cm (muchii laterale egale)
AB = BC = CD = DA = 8 cm (latura bazei)

🔎 a) Calculați înălțimea VG a piramidei.
🔎 b) Calculați unghiul pe care îl face muchia VA cu planul bazei.

✅ Soluție detaliată

a) Înălțimea piramidei:
GA = semidiagonala bazei = a√2/2 = 8√2/2 = 4√2 cm
Triunghiul dreptunghic VGA: VG² + GA² = VA²
VG² = VA² − GA² = 100 − 32 = 68
VG = √68 = 2√17 ≈ 8.25 cm

b) Unghiul muchiei VA cu baza:
Proiecția lui V pe baza = G. Proiecția dreptei VA pe baza = GA.
tan φ = VG / GA = 2√17 / (4√2) = √17 / (2√2) = √(17/8) = √34 / 4
φ = arctan(√34/4) ≈ arctan(1.457) ≈ 55°33'

🎯 a) VG = 2√17 ≈ 8.25 cm | b) φ = arctan(√34/4) ≈ 55°33'

§ 05 — Simulare examen

Probleme tip EN — Subiectul III, Exercițiul 6

📋 Format oficial

Cum arată Ex. 6 din Subiectul III

Fiecare problemă are 3 subpuncte (a, b, c) care se construiesc progresiv. Punctajul total este 15 puncte (5+5+5) sau distribuit altfel. Citește cu atenție enunțul și notează datele înainte de a calcula.

Nr.

Piramidă patrată regulată — calcule complete

PIRAMIDĂ ÎNĂLȚIME UNGHI ARIE

📐 Date problemă

Se consideră piramida regulată V–ABCD cu baza pătrat cu latura AB = 6 cm.

Muchia laterală a piramidei este VA = 5√2 cm.

G este centrul pătratului ABCD, M este mijlocul muchiei AB.

Calculați lungimea înălțimii VG a piramidei.

GA = semidiagonala bazei = a√2 / 2 = 6√2 / 2 = 3√2 cm

Triunghiul VGA este dreptunghic în G (VG ⊥ planul bazei):
VG² = VA² − GA² = (5√2)² − (3√2)² = 50 − 18 = 32
VG = √32 = 4√2 cm

✅ VG = 4√2 ≈ 5.66 cm

Calculați unghiul pe care îl face muchia laterală VA cu planul bazei ABCD.

Proiecția lui V pe planul bazei = G. Proiecția dreptei VA pe baza = GA.

Triunghiul dreptunghic VGA (unghi drept în G):
tan φ = VG / GA = 4√2 / (3√2) = 4/3

φ = arctan(4/3) ≈ 53°8'

✅ φ = arctan(4/3) ≈ 53°8'

Calculați unghiul pe care îl face apotema VM cu planul bazei, știind că M este mijlocul lui AB.

Proiecția lui V pe baza = G. Proiecția dreptei VM pe baza = GM.
GM = distanța de la centrul unui pătrat cu latura 6 la mijlocul unei laturi = a/2 = 3 cm.

tan ψ = VG / GM = 4√2 / 3

ψ = arctan(4√2/3) ≈ arctan(1.886) ≈ 62°6'

✅ ψ = arctan(4√2/3) ≈ 62°6'

a) 5 pct b) 5 pct c) 5 pct TOTAL: 15 pct

Nr.

Prismă triunghiulară dreaptă — unghi și volum

PRISMĂ TRIUNGHI ECHILATERAL UNGHI VOLUM

📐 Date problemă

Se consideră prisma dreaptă ABC–A'B'C' cu baza triunghi echilateral cu latura a = 4 cm.

Înălțimea prismei este AA' = 3√3 cm.

M este mijlocul muchiei BC.

Calculați lungimea diagonalei AB' a prismei.

Triunghiul dreptunghic ABB' (unghi drept în B, deoarece BB' ⊥ baza):
• AB = a = 4 cm (latura bazei)
• BB' = 3√3 cm (înălțimea prismei)

AB'² = AB² + BB'² = 16 + 27 = 43
AB' = √43 cm

✅ AB' = √43 ≈ 6.56 cm

Calculați unghiul pe care îl face dreapta AB' cu planul bazei ABC.

Proiecția lui B' pe planul bazei este B. Proiecția dreptei AB' pe baza = AB = 4 cm.

Unghiul φ se formează la A, în triunghiul dreptunghic ABB':
tan φ = BB' / AB = 3√3 / 4

φ = arctan(3√3/4) ≈ arctan(1.299) ≈ 52°25'

✅ φ = arctan(3√3/4) ≈ 52°25'

Calculați volumul prismei.

Aria bazei (triunghi echilateral cu latura a = 4):
A_baza = (a²√3)/4 = (16√3)/4 = 4√3 cm²

V = A_baza × h = 4√3 × 3√3 = 4 × 3 × 3 = 36 cm³

✅ V = 36 cm³

a) 5 pct b) 5 pct c) 5 pct TOTAL: 15 pct

Nr.

Cub — diagonale și unghiuri multiple

CUB DIAGONALE UNGHI

📐 Date problemă

Se consideră cubul ABCD–A'B'C'D' cu latura a = 6 cm.

Notăm cu E mijlocul muchiei CC'.

Calculați lungimea diagonalei spațiale AC'.

AC' = a√3 = 6√3 cm
(formula diagonalei unui cub cu latura a)

Demonstrație: AC = a√2 (diagonala feței), C'C = a
AC'² = AC² + CC'² = 2a² + a² = 3a²
AC' = a√3 = 6√3 cm

✅ AC' = 6√3 ≈ 10.39 cm

Calculați unghiul pe care îl face diagonala spațială AC' cu planul bazei ABCD.

C' se proiectează pe baza în C. Proiecția dreptei AC' pe baza = AC = a√2 = 6√2 cm.

Triunghiul ACC': CC' = a = 6 cm, AC = 6√2 cm.
tan φ = CC' / AC = 6 / (6√2) = 1/√2 = √2/2

φ = arctan(√2/2) ≈ 35°16'

✅ φ = arctan(√2/2) ≈ 35°16'

Calculați unghiul pe care îl face dreapta AE cu planul bazei ABCD, unde E este mijlocul lui CC'.

E = mijlocul CC' → E este la înălțimea a/2 = 3 cm deasupra bazei.
Proiecția lui E pe baza = C. Proiecția dreptei AE pe baza = AC = 6√2 cm.

CE = a/2 = 3 cm (perpendicular pe baza).
tan ψ = CE / AC = 3 / (6√2) = 1/(2√2) = √2/4

ψ = arctan(√2/4) ≈ arctan(0.354) ≈ 19°28'

✅ ψ = arctan(√2/4) ≈ 19°28'

a) 5 pct b) 5 pct c) 5 pct TOTAL: 15 pct

Nr.

Piramidă cu unghi dat — problemă inversă completă

PIRAMIDĂ INVERS ARIE LATERALĂ

📐 Date problemă

Se consideră piramida regulată V–ABCD cu baza pătrat cu latura a = 6 cm.

Muchia laterală VA face un unghi de 45° cu planul bazei ABCD.

G este centrul bazei, M este mijlocul lui AB.

Calculați înălțimea VG a piramidei.

GA = semidiagonala = a√2/2 = 6√2/2 = 3√2 cm

tan 45° = VG / GA → 1 = VG / (3√2)
VG = 3√2 cm

✅ VG = 3√2 ≈ 4.24 cm

Calculați lungimea muchiei laterale VA.

Triunghiul dreptunghic VGA:
VA² = VG² + GA² = (3√2)² + (3√2)² = 18 + 18 = 36
VA = 6 cm

✅ VA = 6 cm (egală cu latura bazei — piramidă interesantă!)

Calculați aria laterală a piramidei, știind că apotema feței VM = ? (M = mijlocul lui AB).

GM = a/2 = 3 cm (distanța de la centrul pătratului la mijlocul laturii).
Triunghiul dreptunghic VGM:
VM² = VG² + GM² = 18 + 9 = 27
VM = 3√3 cm (apotema feței = apotema piramidei)

Aria laterală = suma ariilor celor 4 fețe laterale (triunghiuri isoscel cu baza a și înălțimea VM):
A_lat = 4 × (a × VM)/2 = 4 × (6 × 3√3)/2 = 4 × 9√3 = 36√3 cm²

✅ A_laterală = 36√3 ≈ 62.35 cm²

a) 5 pct b) 5 pct c) 5 pct TOTAL: 15 pct

Nr.

Paralelipiped dreptunghic — diagonale, unghiuri, volum

PARALELIPIPED DIAGONALĂ UNGHI VOLUM

📐 Date problemă

Se consideră paralelipipedul dreptunghic ABCD–A'B'C'D' cu

AB = 6 cm, BC = 8 cm, AA' = 24 cm.

Calculați diagonala feței ABCD (diagonala bazei).

AC² = AB² + BC² = 36 + 64 = 100
AC = 10 cm
(Recunoaștem tripletul pitagoreic 6–8–10!)

✅ AC = 10 cm

Calculați unghiul pe care îl face diagonala spațială AC' cu planul bazei ABCD.

C' se proiectează pe baza în C. Proiecția dreptei AC' = AC = 10 cm.
CC' = AA' = 24 cm.

tan φ = CC' / AC = 24 / 10 = 12/5
φ = arctan(12/5) ≈ 67°22'
(Recunoaștem tripletul 5–12–13, deci sin φ = 12/13, cos φ = 5/13)

✅ φ = arctan(12/5) ≈ 67°22'

Calculați volumul și aria totală a paralelipipedului.

Volumul:
V = AB × BC × AA' = 6 × 8 × 24 = 1152 cm³

Aria totală = 2 × (AB·BC + BC·AA' + AB·AA'):
= 2 × (48 + 192 + 144) = 2 × 384 = 768 cm²

✅ V = 1152 cm³ | A_totală = 768 cm²

a) 5 pct b) 5 pct c) 5 pct TOTAL: 15 pct

Nr.

Tetraedru regulat — înălțime, unghi, arie

TETRAEDRU TRIUNGHI ECHILATERAL UNGHI

📐 Date problemă

Se consideră tetraedrul regulat VABC cu toate muchiile egale cu a = 6 cm.

G este centrul triunghiului echilateral ABC. M este mijlocul muchiei BC.

Calculați înălțimea VG a tetraedrului.

Raza cercului circumscris bazei (triunghi echilateral, latura a = 6):
R = a/√3 = 6/√3 = 2√3 cm
Deci GA = R = 2√3 cm.

Triunghiul VGA (unghi drept în G):
VG² = VA² − GA² = 36 − 12 = 24
VG = 2√6 cm

✅ VG = 2√6 ≈ 4.90 cm

Calculați unghiul pe care îl face muchia VA cu planul bazei ABC.

Proiecția lui V pe baza = G. Proiecția dreptei VA = GA = 2√3 cm.
tan φ = VG / GA = 2√6 / (2√3) = √(6/3) = √2

φ = arctan(√2) ≈ 54°44'

✅ φ = arctan(√2) ≈ 54°44'

Calculați unghiul pe care îl face VM (apotema feței laterale) cu planul bazei, unde M este mijlocul lui BC.

Proiecția lui V pe baza = G. Proiecția dreptei VM pe baza = GM.
GM = distanța de la centrul unui triunghi echilateral la mijlocul laturii = a/(2√3) = 6/(2√3) = √3 cm.
(sau: GM = R/2 = √3 cm, deoarece R = 2√3 și GM = R/2)

Notă: Centrul unui triunghi echilateral împarte mediana în raportul 2:1 față de vârf.
Mediana AM = a√3/2 = 3√3. GA = 2/3 × 3√3 = 2√3. GM = 1/3 × 3√3 = √3 cm.

tan ψ = VG / GM = 2√6 / √3 = 2√(6/3) = 2√2
ψ = arctan(2√2) ≈ 70°32'

✅ ψ = arctan(2√2) ≈ 70°32'

a) 5 pct b) 5 pct c) 5 pct TOTAL: 15 pct

§ 06 — Sfaturi finale

Checklist pentru examen

✔️ Înainte să scrii răspunsul

□ Am identificat corect care punct NU se află în plan (de obicei vârful piramidei sau un vârf de sus)

□ Am coborât perpendiculara din acel punct pe plan și știu unde cade piciorul H

□ Am identificat triunghiul dreptunghic cu unghiul drept la H

□ Unghiul φ este la capătul din plan al dreptei, nu la H

□ Am folosit tan φ = (cateta opusă unghiului) / (cateta alăturată unghiului)

□ Am verificat că φ este între 0° și 90°